椭圆x^2/a^2+y^/b^2=1(a>b>0)长轴的有端点为A,若椭圆上存在一点P,使∠APO=90

很简单
解：椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)长轴的端点A,若存在一点P,使得∠APO=90
不妨设端点A在右端点为(a,0),P(x,y)
|P0|^2+|PA|^2=|0A|^2
计算得到P的轨迹x^2+y^2-ax=0
P必须与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)相交才能满足要求
故两方程联立得到
[(a^2-b^2)/a^2]x^2-ax+b^2=0
判别式△=a^2-4b^2*[(a^2-b^2)/a^2]≥0
根据c^2=a^2-b^2,离心率e=c/a
判别式整理得到4e^4-4e^2+1≥0
但(2e^2-1)^2≥0是显然的
所以只需要0<e<1的时候总能满足P的存在性
画图也容易看出，以OA为直径的圆总是与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1相交
所以此椭圆的离心率为0<e<1